Mandelbrot y los monstruos imposibles

Los matemáticos creyeron durante siglos que la naturaleza no era perfecta, aunque se aproximaba a la elegante descripción que establecía la geometría. Sin embargo, en los últimos cuarenta años, los científicos han podido comprobar que ese planteamiento era falso. No es que la realidad sea imperfecta, sino que las matemáticas para describirla han sido demasiado sencillas.

Galileo Galilei aseguró a principios del siglo XVII que las matemáticas constituían el lenguaje de la naturaleza y que sus caracteres eran triángulos, círculos y otras figuras geométricas. Esa concepción llevó a los científicos a pasarse siglos analizando situaciones reales con modelos más o menos simplificados. Con cierta dosis de exageración al respecto, se cuenta el chiste de un granjero que encargó a eminentes físicos y matemáticos que le idearan un modelo que mejorase su producción lechera. Tras semanas de trabajo, los investigadores expusieron sus conclusiones comenzando: «Supongamos que una vaca es esférica...».

Pero las vacas no son esféricas, ni las ramas de los árboles trazan líneas rectas. ¿Sería posible describir matemáticamente estructuras reales de una complejidad aparentemente aleatoria? La respuesta la dio Benoît Mandelbrot, fallecido el pasado 14 de octubre y considerado uno de los matemáticos más geniales del pasado siglo XX. «Las nubes no son esferas, las montañas no son círculos y la corteza no es lisa, ni el relámpago viaja en línea recta», aseguró en el revolucionario libro «La geometría fractal de la naturaleza».

Pero ¿qué es un fractal? Durante años, los fractales permanecieron encerrados en la «galería de monstruos» de las matemáticas. Fue Mandelbrot quien acuñó el término para referirse a estructuras geométricas demasiado irregulares para su descripción con la matemática tradicional y que además pueden ampliarse infinitas veces revelando siempre la misma estructura, de modo que una parte equivale siempre al todo.

Los fractales son monstruos deliciosos; tanto que rompen aparentemente la lógica. ¿Se imaginan figuras geométricas cuya dimensión no sea un número entero? Las dimensiones básicas son conocidas por todos. Una línea tiene una única dimensión. Una superficie, sea cual sea, tiene dos dimensiones. Un volumen, tres. Sin embargo, los fractales se comportan de una forma diferente. Son al mismo tiempo algo más que una línea, pero menos que un área; algo más que puntos, pero menos que una línea. La definición matemática intuitiva de dimensión no es ya satisfactoria.

Cuando Mandelbrot publicó en 1975 «La geometría fractal en la naturaleza», el texto llamó la atención por estar repleto de llamativas imágenes generadas por ordenador. Aparentemente, las representaciones asemejaban paisajes, líneas de costa... y lo más apasionante, estructuras vegetales o animales.

Y es que los fractales se autogeneran. Tienen una geometría recursiva, con un proceso que se repite indefinidamente. De ahí que una de sus aplicaciones más vistosas haya sido la simulación de imágenes virtuales. Si quisiéramos crear mediante una computadora la superficie irregular y llena de cráteres de un planeta necesitaríamos muchísimos datos para poder definir cada punto de la imagen. Sin embargo, una estructura fractal puede generar por sí sola un modelo de superficie que imita la forma que deseemos, sin preocuparse de que los detalles sean exactos.

Pero sin duda, Mandelbrot pasará a la historia asociado a una extraña figura que se ha convertido en todo un icono para los matemáticos que analizan estas sorprendentes estructuras geométricas: el conjunto de Mandelbrot.

En realidad se trata de una representación geométrica de la solución de una ecuación matemática. Ciertas funciones en las que la variable son números complejos (aquellos en los que se tiene en consideración la raíz cuadrada de números negativos) tienen un comportamiento peculiar: con algunos valores iniciales la solución tiende rápidamente al infinito, mientras que con otros no. Lo sorprendente es que si representamos gráficamente en diferentes colores el comportamiento de cada punto se obtienen llamativas estructuras que asemejan remolinos, caballitos de mar, protuberancias, cactus, coles de Bruselas, helechos, romanescus, perfiles de insectos, rayos zigzagueantes o manchas de tinta. Y por mucho que aumentemos la imagen, las estructuras se repiten hasta el infinito.

Los fractales, las formas en las que las partes se asemejan al todo, están presentes en el desarrollo evolutivo de la materia biológica, como estructuras que repiten patrones: hojas que se asemejan a la pequeña rama de la que brotan, que a su vez se parece a las ramas más gruesas y al mismo tiempo aparentan similitudes con el árbol, y aun siendo cosas cualitativamente distintas son similares.

Quédense con la idea e imaginen un mundo que encierra un mundo igual, que a su vez guarda otro mundo idéntico, en el que existe un mundo como el primero, que contiene infinitos mundos en una cadena sin fin. En ese vértigo casi borgiano se encuentra la fascinación por esas extrañas criaturas que el ya desaparecido Mandelbrot logró rescatar del abismo de la galería de los monstruos matemáticos.