Un millón de euros por resolver un problema de matemáticas. Los llamados "problemas del milenio", señalados a principios de este siglo, constituían siete cuestiones matemáticas no resueltas o demostradas. Uno ya se ha caído de la lista y otro parece a punto de hacerlo. El matemático británico Michael Atiyah, de 89 años, anunció el pasado lunes haber dado con la solución de la "hipótesis de Riemann", aunque queda por comprobar la calidad de su demostración. El Clay Mathematics Institute, una fundación creada en 1998, fijó esos siete enigmas cuya resolución conlleva un cheque millonario. Pero ¿cuáles son y por qué son tan relevantes?
En agosto de 1900, David Hilbert (1862-1943) presentó ante un nutrido auditorio una lista de 23 problemas en los que, a su juicio, deberían volcarse todos los esfuerzos de investigación. Hilbert era un matemático colosal, una referencia mundial. Sus investigaciones se desarrollaron sobre asuntos diversos: reformuló axiomáticamente la geometría que había establecido el griego Euclides, sentó las bases para el edificio teórico del análisis de funciones y colocó los cimientos matemáticos que permitieron la construcción de la mecánica cuántica y la relatividad general.
A principios de este siglo, emulando aquella lista de problemas que deberían abordarse en cien años, se conmemoró la célebre conferencia de Hilbert con un intento de actualizar su reto. Hubo varias listas, aunque la que más éxito general obtuvo fue la del Clay Mathematics Institute con su millonaria recompensa. Se trata de problemas que atañen a cuestiones esenciales y que encierran profundos conceptos, algunos con aplicación práctica. Su mero enunciado resulta ya indescifrable para los profanos.
El problema de P frente a NP. ¿Cuánto se tarda en resolver un problema? En algunos casos (los problemas P) hay una relación proporcional entre los parámetros del problema y el tiempo de solución; en otros (los problemas NP), a medida que aumentan los parámetros crece exponencialmente el tiempo necesario para resolver el problema. Sin embargo, no es difícil comprobar si una solución particular lo es. La clave de este problema es corroborar que existen cuestiones ante las que un ordenador podría fácilmente determinar si una respuesta es solución, pero necesitaría un tiempo mayor que la edad del universo para descubrir todas sus posibles soluciones. Por ejemplo y como aplicación: podría comprobar que una clave es acertada, pero requeriría un tiempo infinito dar con todas las claves posibles.
La conjetura de Poincaré. Es el único de los siete problemas que está oficialmente resuelto. La solución la dio el matemático Grigori Perelman, aunque rechazó tanto el cheque de un millón de dólares como la medalla Fields (equivalente al Nobel) que le valió su demostración. Por curioso que parezca, esta conjetura tiene que ver con nuestro desayuno: imagine su taza de café, una naranja y un donut. La topología analiza de forma genérica los objetos, basándose en su esencia matemática. La taza de café y el donut son, en realidad, el mismo objeto: sería fácil deformar un donut de plastilina hasta convertirlo en una taza, sin realizar roturas ni arrancar trozos. Sin embargo, es imposible convertir una naranja en un donut: este último tiene un agujero. Poincaré demostró que una goma sobre una esfera (por ejemplo la naranja) podría reducirse cada vez más hasta parecer un punto. No es siempre posible hacerlo en un donut, cuya forma es denominada "toro" por los matemáticos. Poincaré no pudo demostrar este hecho en superficies de más de dos dimensiones. Quedaba pendiente comprobarlo en dimensiones superiores (aunque parecía razonable creer que era así). Perelman lo logró.
La hipótesis de Riemann. Seguro que recuerdan los números primos de su época escolar. Son aquellos que sólo pueden dividirse por uno o por sí mismo. Los primos son los "ladrillos" para construir todos los números, pero su distribución no parece tener un patrón aparente. El matemático Georg Friedrich Riemann (1826-1866) relacionó esta frecuencia de distribución con una enigmática función denominada función zeta de Riemman, cuyas soluciones, al parecer, se distribuyen en una recta vertical. Pero nadie ha logrado demostrar formalmente que esto sea así. Esta misma semana, el matemático Michael Atiyah, ganador de dos de los más prestigiosos premios para los matemáticos (la ya citada medalla Fields y el premio Abel) ha asegurado haber encontrado una demostración. El problema es relevante porque precisamente la incomprensible distribución de los números primos es clave en los modernos sistemas de encriptado. Quizás teniendo claro cómo se reparten estos "números especiales" sea sencillo hacer saltar todos los sistemas de codificado de las comunicaciones. La comunidad matemática está a la espera de que Atiyah elabore una demostración formal, más allá de los esbozos que dio en una conferencia, para determinar si este problema está definitivamente resuelto.
La conjetura de Hodge. Quédense únicamente con que éste es un problema geométrico relativo a la estructura íntima de construcciones teóricas que generalizan el concepto de espacio hasta el punto de permitir universos en los que las lógicas de nuestro mundo no tendrían sentido. Para entender siquiera de qué va, necesitarían al menos unas horas de inmersión en conceptos de geometría y topología. Para los valientes allá va el enunciado: se trata de demostrar que ciertos grupos de cohomología de De Rham son algebraicos; es decir, son sumas de dualidades de Poincaré de clases homólogas de subvariedades. ¿Les suena a chino? Pues ya pueden imaginarse que no está al alcance de cualquiera.
La ecuación de Navier-Stokes. Es la ecuación que rige el comportamiento de medios fluidos turbulentos. Cuando usted viaja en avión y se somete a sacudidas es porque la atmósfera está siguiendo el dictado de esta ecuación formulada ya en el siglo XIX. Sin embargo poco se sabe de sus soluciones, en concreto si ciertas condiciones del sistema llevan a determinadas soluciones. En 2014, el matemático Mujtarbay Otelbáyev afirmó haber resuelto el problema, pero no se ha corroborado.
La existencia de la teoría de Yang-Mills que explique el salto de masa. La denominada teoría de Yang-Mills extiende la formulación del electromagnetismo para abordar la esencia de los protones y neutrones y por qué los núcleos atómicos son estables. A la postre, analiza por qué la realidad existe y no se desintegra. Sin embargo, cuando esta teoría se evalúa desde la perspectiva de la teoría clásica de campos surgen partículas que viajan a la velocidad de la luz, por lo que no tienen masa: pero la confinación de estas partículas tiene masa. ¿Por qué? Póngase a ello si quiere ganar "fácilmente" un millón de dólares.
La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer. Comprobar la veracidad de esta conjetura permitiría averiguar si ciertas ecuaciones tienen un número finito o infinito de soluciones racionales (es decir, que puedan expresarse como números en forma de quebrado). En concreto, se refiere a cierto tipo de ecuaciones, las denominadas como curvas elípticas, que por ejemplo son esenciales en los sistemas de codificación de información y en las claves que impiden que accedan a nuestros datos privados. Conocer mejor las soluciones de esta curvas permitirá garantizar sistemas de cifrado inviolables o, al contrario, tener claro que pueden ser asaltados por los piratas informáticos.
¿Creían que sería fácil ganarse un millón de dólares? Miles de matemáticos tratan de hacerlo con tres únicas herramientas: un bolígrafo, papel y su cerebro. El reto es enorme: las matemáticas son el lenguaje que explica la realidad. Descubrir sus secretos es, en el fondo, averiguar la esencia última del universo.
